Fondamenti della meccanica atomica
Bisogna invece considerare non una autofunzione, corrispondente ad un valore determinato di λ (ci riferiamo per ora solo alla y(1) od alla y(2)), ma
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stesse considerazioni nel linguaggio corrispondente agli altri tipi di fenomeni ondulatori.
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Per studiare il problema corrispondente a questo in meccanica ondulatoria, osserviamo che l'energia potenziale corrispondente alla forza -Kxè
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) come somma di «componenti monocromatiche» ognuna corrispondente ad un valore determinato E dell'energia: ricerchiamo dunque queste soluzioni
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dapprima una soluzione semplice, corrispondente ad un dato valore di E, ossia ad una sola frequenza, lasciandoci guidare dall'analogia col problema
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Tali funzioni sono particolari funzioni sferiche (di superficie) di ordine l. Di queste, quella corrispondente a si riduce a
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corrispondente ai numeri quantici n, l, m:
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simmetria sferica. Tale è, in particolare, lo stato corrispondente al livello energetico più basso, o stato fondamentale: infatti n = 1 porta necessariamente
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della corrispondente riga spettrale: i casi, non molto numerosi, nei quali è stato possibile eseguire un confronto con l'esperienza hanno confermato
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di Schrödinger corrispondente agli elettroni del nocciolo è tale che , cioè la densità media di carica elettrica, è indipendente dal tempo ed a
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nella radiazione emessa la corrispondente componente monocromatica.
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iniziale, e quindi la frequenza della riga dello spettro quantistico diviene approssimativamente uguale alla frequenza , della riga corrispondente nello
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) delle componenti X, Y, Z del momento corrispondente ad una data riga, si possono trarre conclusioni sullo stato di polarizzazione della radiazione
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lineari (22), i cui coefficienti sono le . Basta quindi la conoscenza di questi coefficienti per permettere di ricavare da ogni f il corrispondente
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matrice , cioè quella corrispondente all'o. l. somma di e . Similmente sarà definito il prodotto di due matrici, da cui deriverà anche la potenza n-esima
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Dalla (23) risulta subito che la matrice somma, così definita, è effettivamente la matrice corrispondente all'operatore .
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(si osservi, sotto punto di vista mnemonico, che scrivendo, come si è fatto, i due fattori e nell'ordine corrispondente a quello della (26), i due
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L'elemento sarà dato dalla formula, corrispondente alla (23),
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assi sono proprio gli «assi continui» introdotti al § 1: difatti la proiezione di una qualunque funzione f(x) sull'asse corrispondente all'autovalore x
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(1) Per semplicità useremo la stessa lettera per indicare una funzione e il vettore corrispondente nello spazio hilbertiano (anzichè usare per
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possibilità di scindere la nel prodotto di N fattori, ciascuno corrispondente a una particella, e di spezzare ogni autovalore nella somma di N termini
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Resta da vedere come si determina l'operatore corrispondente a una data osservabile G. Procediamo a tal uopo per via di generalizzazioni successive.
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b) Caso di G = px. Se l'osservabile G è una componente dell'impulso, p. es. , possiamo verificare che l'operatore corrispondente è
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mediante una ipotesi speciale, l'operatore corrispondente alla osservabile G, si pone l'equazione
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In coordinate cartesiane invece è e l'operatore corrispondente è, come è ben noto,
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Possiamo ritrovare facilmente, mediante il teorema ora dimostrato, il fatto ben noto che una coordinata cartesiana e la corrispondente componente
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Molto spesso nella meccanica quantistica si indicano con lo stesso simbolo una osservabile e il suo operatore (o la matrice corrispondente), anzichè
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corrispondente all'autovalore (1) Per includere anche i casi di degenerazione, bisogna ad ogni autovalore multiplo di ordine p far corrispondere nella (113) p
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Si tratta di verificare che, lasciando evolvere questa per un tempo dt, si ottiene una che è un'autofunzione dell'operatore corrispondente
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e quindi, secondo la regola del § 22, l'operatore ad essa corrispondente è
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operatore corrispondente a
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e scrivendo l'equazione per o per nella solita forma (81) o (82). Si può anche dire che l'operatore corrispondente alla presenza di un campo
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della (84), e indicando con Aj la componente del potenziale vettore corrispondente alla coordinata ):
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dall'operatore (corrispondente secondo la regola del § 22 all'osservabile A) mediante la formula
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Le forze perturbatrici saranno rappresentate da un termine aggiunto all'hamiltoniana, che diverrà : quindi l'operatore corrispondente diventerà
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autofunzione ad esso corrispondente. La seconda (dove rappresenta l'energia dovuta all'azione del campo magnetico sul momento magnetico di spin) si
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). Indichiamo con , una generica delle 4 autofunzioni (che si ridurrà a un gruppo di 4 numeri ), e con il corrispondente autovalore: dovrà aversi
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probabilità corrispondente all'autovalore è , e similmente quella corrispondente a è ; essendo i due autovalori coincidenti, la probabilità totale
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invece si prende il segno +, si ha per W un valore prossimo a , che non ha corrispondente nella meccanica ordinaria: su questi valori anomali (negativi
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Poichè, come si è visto al § 46, p. II, l'equazione di Schrödinger corrispondente a questo problema ammette soluzioni del tipo , dove è una funzione
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Passando ora a considerare la soluzione (341), corrispondente a j = / — 1/2, non occorre rifare il calcolo, bastando ricordare che le equazioni (343
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che è quadratica in , mentre la corrispondente relazione della meccanica classica è lineare: perciò anche nella meccanica relativistica non
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corrispondente a un elettrone negativo di energia cinetica negativa (il che significa che è formata almeno prevalentemente con autofunzioni corrispondenti a
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Sarà, quindi simmetrico anche l'operatore corrispondente a una generica osservabile F. In particolare, sarà simmetrica l'espressione dell'energia, e
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l'energia corrispondente è
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livello fondamentale (assai più basso degli altri) appartiene al sistema dei singoletti e corrisponde a uno stato : manca il corrispondente termine
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», « potenziale di ionizzazione», ed anche i livelli energetici si esprimono spesso in volt. Dato uno di questi potenziali, V, si passa alla corrispondente energia
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esattamente corrispondente ad una determinata delle sue righe d'assorbimento, questa luce non viene propriamente « assorbita» dal gas ( cioè trasformata in
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corrispondente ad una data tensione e quindi ad una data velocità. Noto λ, mediante la (29) si può poi calcolare l'indice di rifrazione μ corrispondente
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alcuni valori di V per i quali si presenta un massimo assai evidente in una direzione, esattamente corrispondente alla legge della riflessione ottica.
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Accademia della crusca
